Точки тела: Точки Тела | Сеть массажных студий

Часть 11 — Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела / Хабр

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Сегодня мы завершим построение тензорных соотношений, описывающих кинематику свободного твердого тела. Так получилось, что на протяжении достаточно большого количества статей мы заново построили часть основополагающего курса теоретической механики. Данные построения, несмотря на некоторую абстрактность, полезны и с методической точки зрения, и с точки зрения того, что применительно к механике, тензорный подход, как скальпель, вскрывает истинную природу привычных нам понятий, таких как законы движения материальных тел, скорость их точек, угловая скорость, угловое ускорение. Вот об угловом ускорении сегодня и пойдет речь.

Мы всё глубже увязаем в математической матрице…

В статье, посвященной тензорному описанию кинематики твердого тела мы получили, что компоненты скорости точки тела, совершающего свободное движение в связанной системе координат определяются соотношением

где — компоненты вектора скорости полюса в связанной системе координат; — тензор угловой скорости. Верхний индекс в скобках означает, что компоненты этого тензора представлены в связанной системе координат.

Чтобы получить ускорение, во-первых, перейдем в базовую систему координат — дифференцирование в ней будет выполнять намного проще. Но так как преобразование поворота задано у нас для контравариантных компонент векторов, прежде всего поднимем индексы в (1)

а уже потом, применим к (2) прямое преобразование поворота

и теперь продифференцируем (3) по времени и получим выражение контравариантных компонент ускорения точки тела

где — контравариантные компоненты ускорения полюса в базовой системе координат

Для интерпретации результата придем к тому от чего начинали путь — к связанной системе координат и ковариантным компонентам

Последнее выражение в цепочке преобразований содержит множитель

— тензор угловой скорости, поэтому

— конвариантные компоненты ускорения точки M твердого тела при свободном движении. Теперь постараемся вникнуть в смысл составляющих ускорения (5). Во-первых рассмотрим последнее слагаемое, тензор угловой скорости в котором можно расписать через псевдовектор угловой скорости

и, совершенно очевидно, что производная от тензор угловой скорости представляется через некоторый псевдовектор , равный производной по времени от псевдовектора угловой скорости

Из курса теоретической механики известно, что производная от угловой скорости называется угловым ускорением тела. Значит (7) — угловое ускорение. Обычно угловое ускорение принято обозначать другой буквой, которая в LaTeX-нотации записывается как \varepsilon. Но это обозначение у нас «утащил» тензор Леви-Чивиты, поэтому будем использовать символ \epsilon который выглядит не слишком впечатляюще, но не менять же нам систему обозначений из-за подобной мелочи?

Исходя из вышесказанного делаем вывод, что производная по времени от тензора угловой скорости есть

антисимметричный тензор углового ускорения

для обозначения которого возьмем букву \xi, стилистически напоминающую \varepsilon. Исходя из (8), последнее слагаемое (5) эквивалентно

или, в векторном виде

где называют вращательным ускорением точки тела.

Теперь обратимся ко второму слагаемому (5). В нем распишем тензор угловой скорости через псевдовектор

Здесь мы видим двойное векторное произведение. Действительно, ведь

контравариантное представление вектора скорости точки M относительное полюса, которое участвует в последующем векторном умножении на угловую скорость слева. То есть, второе слагаемое — это

осестремительное ускорение точки тела

таким образом мы получили известную из курса теоретической механики формулу

Ускорение точки тела при свободном движении равно геометрической сумме ускорения полюса, вращательного ускорения точки вокруг полюса и осестремительного ускорения точки вокруг полюса

Ну и, наконец, первое слагаемое в (5) можно расписать через криволинейные координаты полюса, как это делалось в статье, посвященной кинематике и динамике материальной точки

и мы получаем, в самой общей форме, ускорение точки тела при свободном движении

Ускорение (10) представлено в собственной (связанной с телом) системе координат. Данное выражение носит самый общий характер, а подход, с помощью которого мы к нему пришли позволяет нам выяснить истинную природу и соотношения между привычными нам кинематическими параметрами движения. В этом теоретическое значение (10).

Практическое значение полученной формулы таково, что оно ещё на один шаг приближает нас к получению уравнений движения твердого тела в обобщенных координатах.

Для начала вычислим тензор углового ускорения

Таким образом тензор углового ускорения определяется уже и второй производной тензора поворота. С другой стороны, пользуясь определением тензора углового ускорения (6), мы можем получить выражение для псевдовектора углового ускорения

Ну и, подставляя (12) в (11) мы получаем окончательно

Выражение (13) выглядит эффектно, и может быть использовано, например для того, чтобы выразить проекции углового ускорения на собственные оси через углы ориентации твердого тела (Эйлера, Крылова, самолетные углы и т. д.). Но по большей части оно носит теоретический характер — да, вот, смотрите, как угловое ускорение связанно с матрицей поворота.

Если же мы попытаемся получить псевдовектор углового ускорения через параметры конечного поворота, пользуясь (13), то этот путь сложно будет назвать оптимальным. Помните, сколько мы провозились с тензором угловой скорости? То-то же! А здесь можно, в принципе, обойтись и без СКА, достаточно обратится к формуле (7) и материалу статьи о псевдовекторе угловой скорости

Согласно (7) нам достаточно только продифференцировать псевдовектор угловой скорости, который выражается через параметры конечного поворота следующим образом

и мы получим угловое ускорение. Это можно выполнить и вручную

Выражение (15) можно слегка упростить. Во-первых, его второе слагаемое равно нулю, так как содержит свертку тензора Леви-Чивиты с одним и тем же вектором по двум индексам, что эквивалентно . Во-вторых, можно привести подобные слагаемые, и мы получаем окончательное выражение

Теперь, пользуясь (8) от (16) можно перейти и к тензору углового ускорения, но мы этого не будем делать. Действия которые надо выполнить тривиальны, получаемое выражение будет достаточно громоздко. Для практических целей нам достаточно и формулы (16).

Если ось вращения не меняет направления, то производные орта оси вращения обращаются в нуль. Такое возможно при вращении вокруг неподвижной оси и при плоскопараллельном движении. Тогда вектор углового ускорения выглядит тривиально

что дает то определение вектора углового ускорения, которым преподаватели теормеха (в том числе и я), потчуют студентов. Кроме того, из последней формулы хорошо видно, что направление этого вектора непосредственно зависит от ориентации базиса системы координат, а значит и положительного направления поворота в ней. Это хорошо иллюстрирует тот факт, что вектор углового ускорения — псевдовектор.

Формулы (10), (14) и (16) являются последними соотношениями, которыми замыкается построение кинематики твердого тела в произвольных координатах. Мы прошли большой путь — пользуясь аппаратом тензорного исчисления заново построили всю кинематику твердого тела.

Но мы не коснулись главного — каким образом удобно задавать положение тела в пространстве, какие выбрать параметры? Как связать эти параметры с кинематическими характеристиками движения твердого тела?

Казалось бы, чем плохи параметры конечного поворота? Они плохи тем, что вырождаются при значении угла поворота равном нулю. Вспомним, как задается тензор поворота

Обнулив в этом выражении угол поворота мы придем к выражению

Мы получили что тензор поворота представляется единичной матрицей. Что в это плохого, нет поворота, тождественное преобразование? Плохо то, что из такого тензора поворота невозможно получить компоненты орта оси вращения. При интегрировании динамических уравнений движения такой фокус приведет к обрушению численной процедуры.

Для построения моделирующих систем необходимо брать параметры не претерпевающие вырождения. К таковым можно отнести сам компоненты тензора поворота, но их девять. Плюс три координаты полюса. Итого — 12 параметров, характеризующих положение тела в пространстве. А число степеней свободы твердого тела — шесть. Таким образом шесть компонент тензора поворота являются зависимыми величинами, что раздувает порядок системы уравнений движения ровно в два раза.

Исходя из этого соображения, параметры конечного поворота более выгодны — их четыре. И есть лишь одно уравнение связи

и если бы не вырождение при их можно было бы использовать.

Однако, невырождающиеся параметры, с помощью которых можно описать ориентацию твердого тела в пространстве есть, и они непосредственно связаны с параметрами конечного поворота. Это параметры Родрига-Гамильтона, о которых мы поговорим в следующей статье.

При подготовке данной статьи, для ввода формул, использован ресурс, созданный пользователем parpalak. В связи с этим хочу поблагодарить его за создание и поддержку такого полезного сервиса.

Ну и, традиционно, благодарю за внимание своих читателей!

Продолжение следует…

ТОЧКИ ТЕЛА | Петербургский театральный журнал (Официальный сайт)

Своей новой работой Сергей Хомченков продолжает исследование темы безумия, поиска границ здоровой и больной ментальности и чувственности, диалектики «нормы» и «патологии». Спектакль повествует о молодом человеке, пациенте психиатрической больницы, который рассказывает новым друзьям о своей любви. Кажется, это чувство не имеет никаких шансов, но пациенты верят в то, что их странные ритуалы и молитвы Богу позволят им перенестись к возлюбленной главного героя.

Если верить спектаклю «Герой In», сумасшедший не такой уж потерянный человек, каким он может рисоваться в воображении обывателя. Напротив, психотик четко вписан в структуру языка, прописан означающими, инструкциями, прошит текстами, значения которых иной раз не понимает, но которые позволяют ему хоть как-то репрезентировать себя. «Меня Игнатом зовут», — повторяет один из героев, то обращаясь к своему соседу, то произнося это в видеокамеру, то просто говоря в пустоту. Так что непонятно даже, с кем он разговаривает в эти моменты и какой смысл несет для него это изречение. Имя в данном случае никак не связано с его носителем, в душевном мире психотика слово и образ не совпадают друг с другом.

«Герой In». Сцены из спектакля. Фото С. Карловой

Психотик не авторизует речь, он не говорит от первого лица, он не говорит с кем-то, но при помощи повторения одной и той же мантры он пытается это первое лицо нащупать, протезировать, выговорить. В этом и состоит позитивная работа бреда, на что обращает наше внимание Фройд. Персонажи спектакля не просто несут околесицу, а пытаются в этом крошеве слов найти самих себя: «Нас кормят генномодифицированными продуктами. Генная индустрия. Я контролирую все по ночам. Здесь устраивают сходки. Мои люди варят черный суп». Но кто это говорит? Два персонажа поочередно выдают этот текст, механически воспроизводят его. Обрывки телевизионных программ, фрагменты медийной речи, подслушанные высказывания врачей, осколки воспоминаний. Эта речь не принадлежит никому из персонажей, эти «розенкранц-и-гильденстерн» легко меняются ролями, репликами, личностями. У них не только симптом один на двоих, но и личность.

Цель психотика — нащупать в языке те опоры реальности, которые могли бы создать устойчивую и непротиворечивую картину мира. Этой цели и служит бред, единственным недостатком которого является то, что он рано или поздно натыкается на внутренние неразрешимые противоречия и это чревато развязыванием психоза. Герои спектакля отчаянно пытаются найти то основание реальности и те механизмы воздействия на нее, которые смогли бы определить их место в этом мире. «Если мы будем правильно молиться, то Бог нас обязательно услышит и сделает, как мы хотим», — говорит один из героев. «Если мы правильно поставим тумбочку, то она станет алтарем, и мы увидим твою невесту», — продолжает он. Оптимизму этих шизофреников может позавидовать любой негоспитализированный. И они погружаются в поиск этого верного кода, правильного языкового алгоритма, который позволил бы установить взаимосвязь между вещами и словами, телом и ощущением, реальностью и фантазией, внешним и внутренним. Обычный же человек пользуется тем инструментом, который у него есть, и не задается вопросом о его устройстве и возможных точках сборки своей психической реальности (ведь никакой другой реальности попросту нет). Поэтому в клиниках так эффективна бывает двигательная терапия: именно она позволяет психотику связать воедино внешнее (музыку) и внутреннее (движение) через ритм, овладение своим телом, когда нужно найти точки скрепления между слухом, голосом и мышечными сокращениями — точки ощущения тела. «Я бы устроил в больнице дискотеку, — говорит один из героев, — но такую, где каждый танцевал бы так, как умеет, как будто его никто этому не учил».

Уже в первой сцене герой то ли бежит по шпалам, то ли карабкается по лестнице, то ли танцует в клетке — он словно вписан в какие-то структурные рамки, бесконечную дорогу однообразных означающих, по которой должен бежать вечно, дабы не проваливаться в психоз. Бессмысленное повторение, кропотливое плетение бреда, бег по шпалам слов и значений позволяют психотику хоть как-то удерживаться на поверхности реальности. Проблема лишь в том, что язык бесконечен, тогда как психика все же имеет свои пределы. И в этом неравенстве, несовпадении человека и означающего и состоит трагедия психотика.

Однако Сергей Хомченков не только дает надежду своим героям, но и оправдывает ее, позволяя им совершить чудо и прикоснуться к тому мистическому опыту любви, о котором они так мечтали. Финал получился почти в духе Кастанеды: бред сумасшедшего оказался более праведен и действенен, чем так называемый здравый смысл. Сила любви оказывается сильнее безумия, — мог бы сказать экзистенциалист.

Январь 2012 г.

полезных советов: Исцеление болевых точек для разума, тела и души | Напитки и закуски с пробиотиками для здорового живота

Советы, рецепты и новости о полезных вещах, которые помогут вам стать более здоровым.

февраля 14

Если вы делали какой-либо массаж, вы знаете, что эти блаженные минуты, вероятно, самые лучшие за всю неделю, и это не случайно. Существуют глубокие физиологические и психологические причины того, почему растирание ощущается как рай на земле. Существует особый тип терапии, представляющий собой нечто среднее между классическим массажем и акупунктурой, который называется акупрессура. Акупрессура основана на том принципе, что наши тела содержат энергетические каналы, известные как меридианы. При надавливании на любую точку этой линии стимулируется вся линия и устраняются энергетические блокировки.

¹ Эти поляны обладают невероятными целебными свойствами для разума, тела и души. Китайцы считают, что эмоции и меридианы напрямую связаны с разными органами. ²  В духе Дня святого Валентина мы подготовили для вас (и вашего возлюбленного) несколько точек давления, которыми вы можете наслаждаться.

Канал Сердца

Сердце часто называют Вратами Духа. Когда энергия сердца или Врата Духа заблокированы или находятся в смятении, остальное тело также страдает. Эту блокировку можно увидеть в таких симптомах, как тревога, депрессия, бессонница и беспокойство. Один из меридианов сердца можно найти на внутренней стороне запястья. Просто надавите между сухожилиями на два дюйма ниже того места, где рука соединяется с предплечьем. Примерно через две минуты вы должны почувствовать облегчение, ваш разум прояснился, а сердце поднялось. ²

Почечный канал

Если вы чувствуете себя неуверенно, устали или испытываете сексуальную неудовлетворенность, возможно, ваши почки нуждаются в подзарядке. Один из каналов почки находится на подошве стопы. Чтобы «стимулировать огонь», массируйте чуть ниже передней подушечки на нижней части стопы твердыми круговыми движениями прямо между вторым и третьим пальцами. ³ Это поможет вывести токсины из организма и избавиться от негативной энергии. Что может быть лучше, чем растирание ног? Еще одна точка давления на почки находится в брюшной полости. Приложите давление на четыре дюйма ниже пупка и примерно на полдюйма сбоку от средней линии (работает любая сторона). Стимуляция этой области может помочь при низком либидо.  ⁴

Канал живота

Как вы, возможно, знаете, живот является важной частью нашего общего состояния здоровья. На наших ногах есть точки давления, которые могут помочь при множестве заболеваний, связанных с пищеварением, включая диарею, запор, вздутие живота и газы. Сначала согните колени и устройтесь поудобнее. Затем надавите на четыре дюйма ниже коленной чашечки (на внешний край нашей кости) — обязательно сделайте это на обеих ногах! Стимулируйте эту область столько, сколько вам нужно. ⁵   Ты почувствуешь себя лучше, чем заметишь!

Источники:

¹ Википедия: Акупрессура

² HubPages: Естественное повышение либидо с помощью акупрессуры циальные акупрессурные точки

⁴ Livestrong: акупрессура для либидо

⁵ SpreakingTree: 20 важных точек давления, чтобы исцелить себя

дефектов побледнения в точках давления: результаты динамических исследований ПЭТ/КТ всего тела

OtherImaging (JNMT)

Яссер Г. Абдельхафез, Кристин М. Макбрайд, Эдвин К. Леунг, Хизер Х. Хант, Бенджамин А. Спенсер, Хавьер Э. Лопес, Кваме Атсина, Элизабет Дж. Ли, Гобао Ван, Саймон R. Cherry, Ramsey D. Badawi, Fatma Sen and Lorenzo Nardo

Journal of Nuclear Medicine Technology, апрель 2022 г., jnmt.122.263905; DOI: https://doi.org/10.2967/jnmt.122.263905

• Статья
• Рисунки и данные
• Дополнительные
• Информация и показатели0064
• PDF

ПЭТ/КТ всего тела позволяет одновременно получить все части тела в положении на одной кровати во время фазы приема радиофармпрепарата. Протоколы динамической визуализации с использованием ПЭТ всего тела могут демонстрировать результаты, которые, возможно, ранее не визуализировались или не описывались с помощью обычных ПЭТ/КТ-сканеров. Мы исследовали характеристики дефектов побледнения, областей заметно сниженного (частичный дефект) или отсутствующего (полный дефект) поглощения радиофармпрепарата, наблюдаемых в коже/подкожных тканях напротив костных выступов в точках давления. Методы: В этом обсервационном исследовании 77 участников прошли динамическую ПЭТ/КТ всего тела с использованием ¹⁸ F-FDG (Группа 1, N = 47, 60-минутная динамика, руки опущены, разделены на 3 подгруппы). в зависимости от введенной дозы) или ¹⁸ F-флуцикловина (2-я группа, N = 30, 25-минутная динамика, руки над головой). 40 из 47 участников в группе 1 были повторно визуализированы через 90 минут после того, как им разрешили покинуть стол для сканирования. Дефекты побледнения, частичные или полные, характеризовались напротив костных выступов в 7 точках давления (череп, лопатка и пяточная кость с двух сторон, а также крестец). Связь дефектов побледнения с различными клиническими и техническими характеристиками была проанализирована с использованием однофакторного и многофакторного анализа. Результаты: Всего у 68 из 77 (88%) участников было замечено 124 дефекта побледнения в одной или нескольких точках давления. Дефекты бланширования в среднем были выше у участников группы 2 (3,5±1,7) по сравнению с группой 1 (2,1±1,4; P <0,001), но не различались внутри группы 1 для разных доз ¹⁸ Ф-ФДГ. подгруппы. Все дефекты возобновили нормальную картину на статических изображениях с задержкой (90 минут), за исключением 14 частичных дефектов. Полных дефектов побледнения не наблюдалось на 90-минутные изображения. Согласно многофакторному анализу, положение рук над головой было связано с дефектами черепа; дефекты лопатки и крестца достоверно чаще встречались у мужчин и с более низким ИМТ, в то время как дефекты пяточной кости не могли быть связаны с каким-либо фактором. Заключение: Дефекты побледнения напротив костных точек давления являются обычным явлением на динамических изображениях ПЭТ/КТ всего тела с использованием различных радиофармпрепаратов и инъекционных доз. Их появление не следует сразу интерпретировать как аномалию. Текущие результаты требуют дальнейшего изучения в проспективных условиях и могут быть использованы для изучения различных механопатологических состояний, таких как пролежни.